مراجعة شاملة: المعادلات، المتراجحات، والنظمات (أساسيات الجذع المشترك)

--- مراجعة شاملة: المعادلات، المتراجحات، والنظمات (أساسيات الجذع المشترك) 

 تعتبر المعادلات والمتراجحات لغة الرياضيات التي نترجم بها المشكلات الواقعية إلى نماذج قابلة للحل. في مسلك الاقتصاد، ستعتمد كلياً على "النظمات" لحل مشكلات التكلفة والإنتاج وتحديد نقاط التوازن في السوق، بينما في المسالك العلمية، ستحتاجها في كل خطوة لدراسة الدوال والظواهر الفيزيائية. في هذا المقال من **مدونة مواكب**، سنقوم بمراجعة شاملة لأهم تقنيات الحل. 

 1. المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد (Les Équations)

 المعادلة هي متساوية تحتوي على مجهول $x$. الهدف هو عزل هذا المجهول في جهة واحدة لمعرفة قيمته.

 **القاعدة الأساسية:**

 عند نقل حد من طرف إلى طرف آخر في المعادلة، **نغير إشارته** (الموجب يصبح سالباً، والسالب يصبح موجباً). وعند التخلص من معامل مضروب في $x$، نقوم بالقسمة عليه. **مثال تطبيقي:** لنحل المعادلة التالية: $$3x - 5 = x + 7$$ نقوم بتجميع الحدود التي تحتوي على $x$ في الطرف الأيسر، والأعداد المعلومة في الطرف الأيمن: $$3x - x = 7 + 5$$ $$2x = 12$$ $$x = \frac{12}{2}$$ $$x = 6$$ إذن، حل هذه المعادلة هو 6، ونكتب مجموعة الحلول: $S = \{6\}$. ### 2.

 المتراجحات (Les Inéquations) 

 المتراجحة تشبه المعادلة، لكن بدل علامة التساوي ($=$) نجد علامات التفاوت ($>$، $<$، $\ge$، $\le$). حل المتراجحة ليس رقماً واحداً، بل هو مجال (مجوعة من الأرقام) يتم تمثيله على مستقيم مدرج. > **⚠️ القاعدة الذهبية (فخ المتراجحات):** > عند ضرب أو قسمة طرفي المتراجحة على **عدد سالب**، يجب **قلب رمز التفاوت** (الأصغر يصبح أكبر، والعكس). **مثال تطبيقي:** لنحل المتراجحة التالية: $$-2x + 4 \ge 10$$ ننقل 4 إلى الطرف الآخر: $$-2x \ge 10 - 4$$ $$-2x \ge 6$$ الآن، سنقسم على العدد السالب (-2)، لذا **يجب قلب الرمز**: $$x \le \frac{6}{-2}$$ $$x \le -3$$ إذن، حلول المتراجحة هي جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي -3.

 3. نظمات معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين (Les Systèmes)

 النظمة تتكون من معادلتين مدمجتين تحتويان على مجهولين ($x$ و $y$). هذا الدرس هو الأداة السحرية في الاقتصاد لحل مشكلات تتضمن متغيرين (مثل: السعر والكمية). لحل النظمة جبرياً، نعتمد إحدى الطريقتين:

 أ. طريقة التعويض (La méthode de substitution) 

 تعتمد على حساب أحد المجهولين بدلالة الآخر في المعادلة الأولى، ثم تعويضه في المعادلة الثانية. **مثال:** $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$$ في المعادلة الأولى، نعزل $x$: $$x = 7 - 2y$$ نعوض $x$ بقيمته الجديدة في المعادلة الثانية: $$3(7 - 2y) - y = 7$$ $$21 - 6y - y = 7$$ $$-7y = 7 - 21$$ $$-7y = -14$$ $$y = \frac{-14}{-7} = 2$$ الآن وقد وجدنا قيمة $y$، نعود للمعادلة الأولى لحساب $x$: $$x = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$$ إذن، حل النظمة هو الزوج $(3, 2)$.

  ب. طريقة التأليفة الخطية (La combinaison linéaire)

 تعتمد على ضرب إحدى المعادلتين (أو كلتيهما) في أعداد مناسبة، بحيث إذا جمعنا المعادلتين طرفاً بطرف، يتم إقصاء أحد المجهولين. **مثال:** $$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ نلاحظ هنا أن معامل $y$ في المعادلة الأولى هو (+1)، وفي الثانية هو (-1). متقابلان جاهزان! نقوم بجمع المعادلتين طرفاً بطرف مباشرة لإقصاء $y$: $$(2x + x) + (y - y) = 5 + 1$$ $$3x = 6$$ $$x = \frac{6}{3} = 2$$ نعوض $x = 2$ في المعادلة الثانية لإيجاد $y$: $$2 - y = 1$$ $$-y = 1 - 2$$ $$-y = -1$$ $$y = 1$$ إذن، حل النظمة هو الزوج $(2, 1)$. ---

تعديل المقال