%20.png "الدوال الخطية والدوال التآلفية (مدخل للتحليل الرياضي)")
مراجعة شاملة: الدوال الخطية والدوال التآلفية (مدخل للتحليل الرياضي)
%20.png "الدوال الخطية والدوال التآلفية (مدخل للتحليل الرياضي)")
تعتبر الدوال بمثابة "آلات رياضية" ندخل فيها رقماً (يسمى السابق) لتخرج لنا رقماً آخر (يسمى الصورة) بناءً على علاقة محددة. إتقانك للدوال في السلك الإعدادي هو المفتاح السحري الذي سيسهل عليك دراسة الدوال العددية المعقدة في مستويات الجذع المشترك والبكالوريا. في هذا المقال على **مدونة مواكب**، سنراجع نوعين أساسيين من الدوال: الخطية والتآلفية.
1. الدالة الخطية (La Fonction Linéaire)
الدالة الخطية تعبر عن وضعية تناسبية (وضعية تمر من نقطة الصفر).
**التعريف:**
كل علاقة تربط عدداً حقيقياً $x$ بالعدد $ax$ تسمى دالة خطية معاملها $a$. ونكتب:
$$f(x) = ax$$
**كيفية حساب المعامل $a$:**
إذا كنا نعرف صورة عدد غير منعدم $x$، فإن المعامل $a$ يحسب بالقاعدة التالية:
$$a = \frac{f(x)}{x}$$
**التمثيل المبياني:**
التمثيل المبياني لدالة خطية هو دائماً **مستقيم يمر من أصل المعلم** $O(0,0)$. لإنشائه، يكفي تحديد نقطة واحدة فقط (غير النقطة الأصلية).
**مثال تطبيقي:**
لتكن $f$ دالة خطية بحيث $f(2) = 6$.
1.
حدد معامل الدالة $f$:
$$a = \frac{f(2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
إذن صيغة الدالة هي:
$f(x) = 3x$.
2.الدالة التآلفية (La Fonction Affine)
الدالة التآلفية هي امتداد للدالة الخطية، لكنها لا تمر بالضرورة من أصل المعلم (تعبر عن وضعيات تحتوي على تكلفة ثابتة في الاقتصاد).
**التعريف:**
كل علاقة تربط عدداً حقيقياً $x$ بالعدد $ax + b$ تسمى دالة تآلفية. ونكتب:
$$g(x) = ax + b$$
* العدد $a$ يسمى المعامل (Le coefficient).
* العدد $b$ يسمى الأرتوب عند الأصل (L'ordonnée à l'origine).
**كيفية حساب المعامل $a$:**
لحساب معامل دالة تآلفية، نحتاج إلى معرفة صورتي عددين مختلفين $x_1$ و $x_2$:
$$a = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$$
**التمثيل المبياني:**
التمثيل المبياني لدالة تآلفية هو مستقيم لا يمر بالضرورة من أصل المعلم. لإنشائه، نحتاج إلى تحديد **نقطتين مختلفتين**.
3. تمرين تطبيقي شامل:
إيجاد صيغة الدالة التآلفية
هذا هو السؤال الكلاسيكي الذي يتكرر دائماً في الفروض والامتحانات.
**التمرين:**
لتكن $h$ دالة تآلفية بحيث: $h(1) = 5$ و $h(3) = 9$.
حدد صيغة الدالة $h(x)$.
**الحل المفصل خطوة بخطوة:**
بما أن $h$ دالة تآلفية، فإنها تكتب على الشكل: $h(x) = ax + b$.
**الخطوة الأولى: حساب المعامل $a$**
نطبق قاعدة المعامل باستخدام النقطتين المعطيتين:
$$a = \frac{h(3) - h(1)}{3 - 1}$$
$$a = \frac{9 - 5}{2}$$
$$a = \frac{4}{2} = 2$$
إذن، الدالة أصبحت تكتب على الشكل: $h(x) = 2x + b$.
**الخطوة الثانية: حساب الأرتوب عند الأصل $b$**
لإيجاد $b$، نختار إحدى النقطتين المعطيتين في المعطيات (سنختار $h(1) = 5$ للتبسيط)، ونعوض في الصيغة التي وجدناها:
$$h(1) = 2(1) + b$$
نعلم أن $h(1) = 5$، إذن:
$$5 = 2 + b$$
$$b = 5 - 2 = 3$$
**الخلاصة:**
الصيغة النهائية للدالة التآلفية هي:
$$h(x) = 2x + 3$$